解题思路：（1）由于AB是⊙O的直径，则∠ACB=90°，只需证明P是Rt△ACQ斜边AQ的中点即可；由垂径定理易知弧AC=弧AE，而C是弧AD的中点，那么弧CD=弧AE，即∠PAC=∠PCA，根据等角的余角相等，还可得到∠AQC=∠PCQ，由此可证得AP=PC=PQ，即P是△ACQ的外心；
（2）由（1）的相等弧可知：∠ABC=∠ACE=∠CAQ，那么它们的正切值也相等；在Rt△CAF中，根据CF的长及∠ACF的正切值，通过解直角三角形可求得AC的长，进而可在Rt△CAQ中，根据∠CAQ的正切值求出CQ的长；
（3）由（1）知：PQ=CP，则所求的乘积式可化为：CF2=FP•FG；在Rt△ACB中，由射影定理得：CF2=AF•FB，因此只需证明AF•FB=FG•FP即可，将上式化成比例式，证线段所在的三角形相似即可，即证Rt△AFP∽Rt△GFB．
（1）证明：∵C是
AD的中点，∴
AC＝
CD，
∴∠CAD=∠ABC
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．
∴∠CAD+∠AQC=90°
又CE⊥AB，∴∠ABC+∠PCQ=90°
∴∠AQC=∠PCQ
∴在△PCQ中，PC=PQ，
∵CE⊥直径AB，∴
AC＝
AE
∴
AE＝
CD
∴∠CAD=∠ACE．
∴在△APC中，有PA=PC，
∴PA=PC=PQ
∴P是△ACQ的外心．
（2）∵CE⊥直径AB于F，
∴在Rt△BCF中，由tan∠ABC=[CF/BF＝
3
4]，CF=8，
得BF＝
32
3．
∴由勾股定理，得BC=
CF2+BF2=[40/3]
∵AB是⊙O的直径，
∴在Rt△ACB中，由tan∠ABC=[AC/BC]=[3/4]，BC=[40/3]，
∴AC=10，
易知Rt△ACB∽Rt△QCA，
∴AC2=CQ•BC，
∴CQ=
AC2
BC=[15/2]；
（3）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°
∴∠DAB+∠ABD=90°
又CF⊥AB，∴∠ABG+∠G=90°
∴∠DAB=∠G；
∴Rt△AFP∽Rt△GFB，
∴[AF/FG＝
FP
BF]，即AF•BF=FP•FG
易知Rt△ACF∽Rt△CBF，
∴CF2=AF•BF（或由射影定理得）
∴FC2=PF•FG，
由（1），知PC=PQ，∴FP+PQ=FP+PC=FC
∴（FP+PQ）2=FP•FG．
点评：
本题考点： 勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定与性质．
考点点评： 此题主要考查了圆心角、弧的关系，圆周角定理，三角形的外接圆，勾股定理以及相似三角形的判定和性质等知识．