由于对楼主的题目感兴趣,故对本题作些探讨,请理解.
结论：EG=CG,且EG⊥CG.
证明：1.因为∠DCF=90° DG=GF
∴CG=DG=GF
因为∠DEF=90 DG=GF
∴EG=DG=GF
∴EG=CG
显然∠1＝∠2,∠3＝∠4
因为∠EGC=∠EGF+∠CGF=∠1+∠2+∠3+∠4
∴∠EGC=2(∠1+∠3)＝2∠BDC=2*45°=90°
即EG⊥CG
2.连GA,
因为DA=DC,∠GDC=∠GDA=45°,DG=DG
∴△GDA≅△GDC(SAS)
∴GA=GC ∠DCG=∠DAG
作GH⊥AB于H, 因为EF⊥AB,AD⊥AB
∴EF∥HG∥AD
因为DG=GF
∴AH=HE 则GH垂直平分AE
∴GA=GE ∴∠GAH=∠GEH
∴EG=CG
∠GAH+∠DAG=∠GEH+∠DAG=90°=∠GCB+∠DCG
∴∠GEH=∠GCB
∴E、B、C、G四点共圆
∴∠EGC+∠EBC=180°
∴∠EGC=180°-90°=90°
即EG⊥CG
3(1).延长EG到M使GE=GM,连CM,CE,DM,并延长MD交BE延长线于H,
因为GD=GF, ∠DGM=∠FGE,
∴△DGM≅△FGE(SAS)
∴DM=FE ∠DMG=∠FEG
∴DM∥FE
又FE=BE ∴DM=BE
因为FE⊥BE,
∴MD⊥BE即MH⊥BH
又BC⊥DC
∴∠DHB+∠DCB=180°
四边形DCBH是圆内接四边形
∴∠MDC=∠EBC
又DC=BC
∴△MDC≅△EBC
∴∠DCM=∠BCE CE=CM
∴∠DCM+∠DCE=∠BCE+∠DCE=90°
即∠ECM是直角,∴△ECM是等腰直角三角形
又GE=GM , ∴CG⊥EG CG=EG(等腰三角形三线合一性质)
3(2).
EG=CG,且EG垂直于CG.
证明:延长EG到M,使GM=GE,连接DM,CM,CE,
并延长MD交EB延长线于H; 延长DC交EB延长线于K,
GF=GD,GE=GM,∠FGE=∠DGM,则:⊿FGE≌⊿DGM(SAS).
因为DM=FE=BE; ∠EFG=∠MDG.
∴DM∥EF; 又BE⊥EF.
∴DM⊥BE; 则MH⊥EH,又CD⊥CB.
∴∠HDK=∠CBK(同为∠BKC的余角)
则∠CDM=∠CBE.(等角的补角相等)
因为DM=BE,CD=CB,∠CDM=∠CBE.(已证)
∴△CDM≌⊿CBE(SAS),CM=CE; ∠DCM=∠BCE.
∴∠DCM+∠DCE=∠BCE+∠DCE=90°
即∴∠ECM=∠BCD=90度,即△ECM为等腰直角三角形.
又GM=GE,
故:CG=EG; CG⊥EG.(等腰三角形三线合一性质)
4.当G、F、E在同一直线上时.
连EC、FC,
因为∠DEB=∠DCB=90°故∠DEB+∠DCB=180°
∴四边形BCDE是圆内接四边形
∴∠DEC=∠DBC=45°
由已知可得△BEF是以BF为底的等腰直角三角形,因此
EC是垂直平分BF,
∴CB=CF 又CB=CD
∴CF=CD
又DG=GF
∴CG⊥DF,即EG⊥CG
∴∠GCE=90°-∠DEC=90°-45°=45°=∠DEC＝∠GEC
∴GE=GF