Question

已知点E、F的坐标分别是（-2，0）、（2，0），直线EP、FP相交于点P，且它们的斜率之积为−14．

Answer 1

解题思路：（1）由已知中点E，F的坐标分别是（-2，0）、（2，0），直线EP，FP相交于点P，且它们的斜率之积为

−

1

4

．我们设出P（x，y），进而得到x，y之间的关系式，整理后即可知点P的轨迹方程．

（2）设直线AB的方程为y=kx，A（x₁，kx₁），则B（-x₁，-kx₁），联立直线和椭圆的方程，我们可得

x

2

＝

4

1+4

k

2

，利用弦定公式，求出AB的长，利用点到直线公式，求出M点直线AB的距离求出AB边的高，可以得到△MAB面积的表达式，进而求出△MAB面积m的取值范围，得到△MAB面积m的，代入可求出对应的k值．

（3）设M（1，4），根据（2）的计算办法，我们易求出，△MAB的面积取得最大值时，并求出此进k_OM及k_AB的值，验证后，可得猜想不成立．

（1）设P（x，y）为轨迹上的动点，由题意[y/x+2•

y

x−2＝−

1

4⇒x2+4y2＝4

即

x2

4+y2＝1，∴点P的轨迹在椭圆C：

x2

4+y2＝1上；------------4分

（2）设直线AB的方程为y=kx，A（x₁，kx₁），则B（-x₁，-kx₁）

联立方程 y＝kx与

x2

4+y2＝1

整理可得 x2＝

4

1+4k2]

AB=2OA=2

(1+k2)x12 =4

1+k2

1+4k2

∵M（ 1，

1

2）到直线AB的距离d=

|k−

1

2|

1+k2

S△MAB＝

1

2AB•d=

1

2×4

点评：

本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的定义；椭圆的标准方程．

考点点评： 本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的综合问题，其中（1）的关键是分别求出两条直线的斜率，进而得到P点横、纵坐标的关系式，（2）的关键是得到△MAB面积的表达式，（3）中正面证明比较麻烦，可以举出一反例，推反前面的猜想．