注意,下面的过程是解AX=B,
当令B=单位矩阵E时,即是求A的逆矩阵.
注意,下面的过程是解AX=B,
当令B=单位矩阵E时,即是求A的逆矩阵.
原理是：
增并矩阵(矩阵并列在一起,我也称为并矩阵.多个类同量并在一起,我称为并量.)
A|B,或写成A,B
进行初等变换后得到E|X
因为做行初等变换,相当于左乘了某个初等变换方阵P
即P*(A,B)=(E,X)
显然有PA=E, PB=X
故P=A^(-1), 故PB=X=A^(-1)B,这就是所求.
实际上,我们进行变换的过程中,处在X位的每一个矩阵,都在不知不觉的记录我们的变换动作.当A变成B时,记下来的动作P,就是AX=B的解.
同时,它也就是累积起来的变换过程,即各个初等矩阵的积.
注：
求解矩阵方程,用行初等变换方法是一种较好的思路.
注：与之对称的用列初等变换也行,按通行人们先横向从左到右,再竖向从上到下的书写习惯,若是使用列变换解AX=B,需先等价转化：AX=B,也相当于X'*A'=B',
若是使用列变换解AX=E,则可直接使用列变换：AX=EAX=E.
行初等变换施加于方阵A,相当于对方阵A左乘了一个基本的初等变换矩阵.
这种变换方法,通常利用到了单位矩阵,但其实把原理弄清楚了,是可以活学活用的.
要说明的重要一点是,过程中不是用的基本的初等变换也是可以的,只要所用到的变换是可逆变换就行；
最后的结果,得到一个方便计算的对角矩阵就行,也不一定要是E.
比如：
下面Λ是对角方阵,即各个主对线元为常数,其它元为0的方阵.
A|B ,或写成A,B
进行可逆变换后得到Λ|Y
因为做行可逆变换,相当于左乘了某个可逆方阵P
即P*(A,B)=(Λ,Y)
显然有PA=Λ, PB=Y
故P=Λ*A^(-1), 故Y=Λ*A^(-1)*B,
而令X=Λ^(-1)*Y即可,即是将Y的各个行分别除以Λ的各个对角元即是结果.
其实还可以这样做,
利用原来的行,做任意的非奇异变换（线性无关变换）,得到一些行；
在变换得到的行中,挑出三个行,构成的矩阵中,后面的Y位置的矩阵为对角阵,就行了.
那样自在极了,方便极了,过程可以简省书写,思路也开阔多了!