为书写方便,原题与已知
ax+by=3.①
ax^2+by^2=7...②
ax^3+by^3=16..③
ax^4+by^4=42..④
ax^5+by^5=K...⑤
求解K值等价
为避免求解方程,考虑如下计算变换得到关于K的方程
①x④-②x③化简分解得到
abxy(x+y)(x-y)^2=14.⑥
②x⑤-③x④化简分解得到
abx^2y^2(x+y)(x-y)^2=7K-16X42.⑦
由⑥⑦得到
xy=（7K-16X42）/14.⑩
②x④-③x③化简分解得到
abx^2y^2(x-y)^2=7x42-16^2=38.⑧
由⑦⑧得到
x+y=（7K-16X42）/38.@
①x⑤-②x④化简分解得到
abxy(x-y)^2[（x+y）^2-xy]=3K-7X42.⑨
由@⑩⑨消去xyab得到关于K的方程
14/(x+y).[(x+y)^2-xy]=3K-7X42
(7k-672)/19-38/7=(3k-294)/7
解方程K=20
中间计算可能有误,但思路应该正确,通过这个思路你也可以反思更好的解题方法.
更简洁的答案
F（n）=ax^n+by^n
x,y是t^2-pt-q=0两根
有x+y=p,xy=-q
计算以下恒等式成立
F（n)=pF(n-1)+qF(n-2)
所以有
F(3)=pF(2)+qF(1)
F(4)=pF(3)+qF(2)
成立,联立解方程得到
p=-14
q=38
F(5)=pF(4)+qF(3)=20
可以看出这个题目是由数列构造的一个题目,不知道它的出处还真有一定的难度.
好比随便写出一个数列an的通项公式,得到一个数列,让你反求数列的通项公式,似乎只有出题的人自己知道答案.