Question

已知点N(1,2),过点N的直线交双曲线x^2-y^2/2=1于A B两点,且向量ON=2/1(向量OA+向量OB)

Answer 1

（1）由 ON=1/2*(OA+OB) 知,N 是 AB 的中点,

设 A（x1,y1）,B（x2,y2）,

代入双曲线方程得 x1^2-y1^2/2=1 ,x2^2-y2^2/2=1 ,

两式相减,得 (x2+x1)(x2-x1)-(y2+y1)(y2-y1)/2=0 ,

由于 x1+x2=2 ,y1+y2=4 ,因此 2(x2-x1)-2(y2-y1)=0 ,

解得 kAB=(y2-y1)/(x2-x1)=1 ,

因此直线 AB 的方程为 y-2=x-1 ,即 x-y+1=0 .

（2）由 CD*AB=0 得 CD丄AB ,

因此由 kAB=1 得 kCD= -1 ,因此 CD 方程为 x+y-3=0 ,

解联立方程组 ｛x-y+1=0 ；x^2-y^2/2=1 得 A（-1,0）,B（3,4）,

解联立方程组｛x+y-3=0 ；x^2-y^2/2=1 得 C（-3-2√5,6+2√5）,D（-3+2√5,6-2√5）,

A、B、C、D 的坐标均满足圆的方程 (x+3)^2+(y-6)^2=40 ,

所以,它们共圆.