Question

如图,已知正四棱锥P-ABCD的所有棱长都是2,底面正方形两条对角线相交于O点,M是侧棱PC的中点.

Answer 1

(1)

(2)

(1)由题可得,PO⊥底面ABCD.

在Rt△AOP中,

∵AO=

AC=

,AP=2,

∴PO=

=

=

.

故V _P-ABCD=

·S _底·PO=

×4×

=

.

(2)由(1)知PO⊥底面ABCD,且OA⊥OB,以O点为原点,OA,OB,OP所在的直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则各点的坐标为A(

,0,0),B(0,

,0),P(0,0,

),M(-

,0,

),

∴

=(

,

,-

),

=(-

,

,0),

=(-

,0,

).

设平面ABP的一个法向量为n=(x,y,z),

则有

即

取x=1,则y=1,z=1,

∴n=(1,1,1),

∴sinθ=cos(90°-θ)=

=

=

.