Question

求解一道曲线积分的题C是一个在平面x+y+z=1上的简单光滑封闭的曲线展示 曲线积分 ∫c zdx-2xdy+3ydz

Answer 1

斯托克斯公式就能证明,(z,-2x,3y)的旋度

x分量：d(3y)/dy-d(-2x)/dz=3

y分量：d(z)/dz-d(3y)/dx=1

z分量：d(-2x)/dx-d(z)/dy=-2

所以原积分=∫∫ 3dydz+dzdx-2dxdy,积分域是C在平面内包围的部分

因为C在一个线性平面内,所以∫∫ 3dydz只和面积有关,同理另外两项也只和面积有关.

平面方程z=1-x-y,故dz/dx=-1,dz/dy=-1,

所以dS=√(1+(dz/dx)²+(dz/dy)²) dxdy=√3 dxdy,

同理得到 dS=√3 dydz=√3 dxdy=√3 dzdx,

所以,原积分=2S/√3 ,只和面积有关.