Question

数列{an}的前n项和记为Sn，已知an=5Sn-3（n∈N）求limn→∞（a1+a3+…+a2n-1）的值．

Answer 1

解题思路：由题意可知数列{a_n}是首项a₁=[3/4]，公比q=-[1/4]的等比数列．由此知数列a₁，a₃，a₅，，a_2n-1是首项为a₁=[3/4]，公比为

(−

1

4

)

2

的等比数列．由此可以求出

lim

n→∞

（a₁+a₃+a₅++a_2n-1）的值．

由S_n=a₁+a₂++a_n知

a_n=S_n-S_n-1（n≥2），

a₁=S₁，

由已知a_n=5S_n-3得

a_n-1=5S_n-1-3．

于是a_n-a_n-1

=5（S_n-S_n-1）

=5a_n，

所以a_n=-[1/4]a_n-1．

由a₁=5S₁-3，

得a₁=[3/4]．

所以，数列{a_n}是首项a₁=[3/4]，公比q=-[1/4]的等比数列．

由此知数列a₁，a₃，a₅，，a_2n-1，

是首项为a₁=[3/4]，公比为(−

1

4)2的等比数列．

∴

lim

n→∞（a₁+a₃+a₅++a_2n-1）=

3

4

1−(−

1

4)2＝

4

5．

点评：

本题考点： 极限及其运算；数列的求和．

考点点评： 本题主要考查等比数列和数列极限等基础知识，解题时要注意培养计算能力．