解题思路:(1)求函数的导数,利用函数的单调性和导数之间的关系,即可求函数f(x)的最小值;
(2)要使f(x)≥0对任意的x∈R恒成立,则只需求出f(x)的最小值即可得到结论.
(1)∵f(x)=ex-ax-1(a>0),
∴f'(x)=ex-a,
由f'(x)=ex-a=0得x=lna,
由f'(x)>0得,x>lna,此时函数单调递增,
由f'(x)<0得,x<lna,此时函数单调递减,
即f(x)在x=lna处取得极小值且为最小值,
最小值为f(lna)=elna-alna-1=a-alna-1.
(2)若f(x)≥0对任意的x∈R恒成立,
等价为f(x)min≥0,
由(1)知,f(x)min=a-alna-1,
设g(a)=a-alna-1,
则g'(a)=1-lna-1=-lna,
由g'(a)=0得a=1,
由g'(x)>0得,0<x<1,此时函数单调递增,
由g'(x)<0得,x>1,此时函数单调递减,
∴g(a)在a=1处取得最大值,即g(1)=0,
因此g(a)≥0的解为a=1,
∴a=1.
点评:
本题考点: 函数恒成立问题.
考点点评: 本题主要考查函数的单调性和导数的之间关系,以及不等式恒成立问题,将不等式恒成立转化为求函数的最值是解决本题的关键.