已知函数f(x)=ex-ax-1(a>0,e为自然对数的底数).

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  • 解题思路:(1)求函数的导数,利用函数的单调性和导数之间的关系,即可求函数f(x)的最小值;

    (2)要使f(x)≥0对任意的x∈R恒成立,则只需求出f(x)的最小值即可得到结论.

    (1)∵f(x)=ex-ax-1(a>0),

    ∴f'(x)=ex-a,

    由f'(x)=ex-a=0得x=lna,

    由f'(x)>0得,x>lna,此时函数单调递增,

    由f'(x)<0得,x<lna,此时函数单调递减,

    即f(x)在x=lna处取得极小值且为最小值,

    最小值为f(lna)=elna-alna-1=a-alna-1.

    (2)若f(x)≥0对任意的x∈R恒成立,

    等价为f(x)min≥0,

    由(1)知,f(x)min=a-alna-1,

    设g(a)=a-alna-1,

    则g'(a)=1-lna-1=-lna,

    由g'(a)=0得a=1,

    由g'(x)>0得,0<x<1,此时函数单调递增,

    由g'(x)<0得,x>1,此时函数单调递减,

    ∴g(a)在a=1处取得最大值,即g(1)=0,

    因此g(a)≥0的解为a=1,

    ∴a=1.

    点评:

    本题考点: 函数恒成立问题.

    考点点评: 本题主要考查函数的单调性和导数的之间关系,以及不等式恒成立问题,将不等式恒成立转化为求函数的最值是解决本题的关键.