Question

多项式证明已知p为整数系数多项式, a为整数且p(a)不为零.求证： p(a)整除p(a+p(a)).

Answer 1

设p:a0+a1x+a2x^2+...+anx^n,ai是整数

p(a)=a0+a1a+a2a^2+...+ana^n

p(a+p(a))=a0+a1(a+p(a))+a2(a+p(a))^2+..+an(a+p(a))^n

因为:

a1(a+p(a))-a1a=a1p(a)

a2(a+p(a))^2-a1a^2=a2p(a)*(2a+p(a))

..

an(a+p(a))^n-ana^n=anp(a)*(C(n,0)p(a)^(n-1)+C(n,1)ap(a)^(n-2)+C(n,2)a^2p(a)^(n-3)+...+C(n,n-1)a^(n-1))

故p(a)|(p(a+p(a))-p(a)),p(a)|p(a+p(a))