解题思路：（1）直接求解一元二次不等式得答案；
（2）把f（x）代入g（x）=f（x）-4x2+mx，若存在x∈R，使g（x）＞0，转化为不等式-x2+（m-6）x-5＞0的解集非空，由判别式大于0得答案；
（3）把对于任意的a∈[1，2]，关于x的不等式f（x）≤x2-（2a+6）x+a+b在区间[1，3]上恒成立，
等价于对于任意的a∈[1，2]，不等式2x2+2ax-（a+b+5）≤0在区间[1，3]上恒成立，构造函数
ϕ（x）=2x2+2ax-（a+b+5），求出对称轴，由a的范围得到对称轴的范围，求出ϕ（x）的最值后借助于
b≥5a+13恒成立求得实数b的取值范围．
（1）由f（x）＞4，得3x2-6x-5＞4，即x2-2x-3＞0．
解得x＜-1或x＞3．
∴不等式f（x）＞4的解集为{x|x＜-1或x＞3}；
（2）g（x）=f（x）-4x2+mx=3x2-6x-5-4x2+mx=-x2+（m-6）x-5．
若存在x∈R，使g（x）＞0，即不等式-x2+（m-6）x-5＞0的解集非空，
也就是x2-（m-6）x+5＜0的解集非空．
则[-（m-6）]2-20＞0，解得：
m＞6+2
5或m＜6−2
5；
（3）对于任意的a∈[1，2]，关于x的不等式f（x）≤x2-（2a+6）x+a+b在区间[1，3]上恒成立，
等价于对于任意的a∈[1，2]，不等式2x2+2ax-（a+b+5）≤0在区间[1，3]上恒成立，
令ϕ（x）=2x2+2ax-（a+b+5），对称轴x＝−
a
2
由已知，−
a
2∈[−1，−
1
2]，
∴ϕmax（x）=ϕ（3）=5a-b+13，
∴只要当a∈[1，2]时，5a-b+13≤0恒成立即可，
即当a∈[1，2]时，b≥5a+13恒成立，
∴实数b的取值范围是[23，+∞）．
点评：
本题考点： 函数恒成立问题；一元二次不等式的解法．
考点点评： 本题考查了一元二次不等式的解法，考查了函数恒成立问题，体现了数学转化思想方法，考查了学生的灵活变形能力，是中档题．