Question

已知△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：6，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，求证：[a/b]=[a+b/a+b

Answer 1

解题思路：根据三角形的内角和定理可求出△ABC三个内角的度数，要证[a/b]=[a+b/a+b+c]，只需证a²+ab+ac=ab+b²即a（a+c）=b²，延长CB到点D，使得BD=BA，连接AD，只需证CB•CD=CA²，只需证△CAB∽△CDA，即可解决问题．

设∠BAC=α，

由∠BAC：∠ABC：∠C=1：2：6可得∠B=2α，∠C=6α．

∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，

∴α+2α+6α=180°，

解得：α=20°，

∴∠BAC=20°，∠ABC=40°，∠C=120°．

延长CB到点D，使得BD=BA=c，连接AD，如图所示．

∵BD=BA，∠ABC=40°，

∴∠D=∠DAB，∠ABC=∠D+∠DAB=40°，

∴∠D=20°，

∴∠D=∠BAC．

∵∠C=∠C，∠BAC=∠D，

∴△CAB∽△CDA，

∴[CA/CD]=[CB/CA]，

∴[b/a+c]=[a/b]．

设[b/a+c]=[a/b]=k，

则有b=k（a+c），a=kb．

∴[a+b/a+b+c]=

kb+k(a+c)

a+b+c=

k(a+b+c)

a+b+c=k，

∴[a/b]=[a+b/a+b+c]．

点评：

本题考点： 正弦定理与余弦定理；三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质．

考点点评： 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质等知识，构造相似三角形得到[b/a+c]=[a/b]是解决本题的关键．