Question

求半径为R的球的内接圆柱的体积的最大值，且求出圆柱体积最大时的底面半径．

Answer 1

解题思路：本题考查的知识点是棱柱、棱锥、棱台的体积，为求出圆柱体积最大时的底面半径，我们可以设圆柱体的底面半径为r，进而根据截面圆半径、球半径、球心距满足勾股定理，我们可以用R与r表示出圆柱的高，进而得到其体积的表达式，然后结合基本不等式，即可得到圆柱体积最大时的底面半径的值．

设圆柱体的底面半径为r，

则球心到底面的高（即圆柱高的一半）为d，

则d=

R2−r2，

则圆柱的高为h=2

R2−r2

则圆柱的体积V=πr²h≤[1/2]π（r²+h）

当且仅当r²=h时V取最大值

即r²=2

R2−r2

即r=

2(

1+R2−1)时，

圆柱体积取最大值．

点评：

本题考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积．

考点点评： 若球的截面圆半径为r，球心距为d，球半径为R，则球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理，即R2=r2+d2