Question

已知an＝1+22+33+…+nn(n+1)n，用数学归纳法证明：n∈N*时，an＜1．

Answer 1

解题思路：直接利用数学归纳法的证明步骤，n=1时验证不等式成立，假设n=k时不等式成立，然后证明n=k+1时，不等式也成立．

利用数学归纳法证明．

①当n=1时，a₁=[1/2]＜1；

②假设n=k时，不等式成立，即ak＝

1+22+33+…+kk

(k+1)k＜1．

那么n=k+1时，ak+1＝

1+22+33+…+(k+1)k+1

(k+2)k+1＜

(k+1)k+(k+1)k+1

(k+2)k+1=

(k+1)k

(k+2)k＜1．

这就是说，n=k+1时，不等式也成立．

所以an＝

1+22+33+…+nn

(n+1)n，对于n∈N^*时，a_n＜1成立．

点评：

本题考点： 数学归纳法．

考点点评： 本题是中档题，考查数列在不等式证明中的应用，考查数学归纳法的证明步骤，注意用上假设是证明问题的关键．