Question

（2014•福建模拟）如图，过曲线C：y=e-x上一点P0（0，1）做曲线C的切线l0交x轴于Q1（x1，0）点，又过Q

Answer 1

解题思路：（1）先求出导函数进而求出切线的斜率，再把1，2代入就可求出求x₁、x₂的值．求出点P_n的切线l_n的方程即可求出及数列{x_n}的通项公式；

（2）直接利用定积分来求S_n的表达式即可；

（3）利用（2）的结论先求出数列{S_n}的前n项之和为T_n，再把所要证明的结论转化为用数学归纳法证明eⁿ⁺¹＞（e-1）n+e即可

（1）y′=-e^-x，设l_n的斜率为k_n，则kn＝−e−xn

∴l₀的方程为：y=-x+1，令y=0得x₁=1，∴y₁=-e^-1P₁（1，e^-1），k1＝−e−x1＝−e−1

∴l₁的方程为：y-e^-1=-e^-1（x-1），令y=0得x₂=2，

一般地，l_n的方程为：y−e−xn＝−e−xn(x−xn)，由Q_n+1（x_n+1，0）∈l_n

得：x_n+1-x_n=1，∴x_n=n （4分）

（2）Sn＝

∫n+1ne−xdx−

1

2(xn+1−xn)yn＝−e−x

|n+1n−

1

2yn＝(−e−n−1+e−n)−

1

2e−n

=[e−2/2e•

1

en]（8分）

（3）Tn＝

e−2

2e•(

1

e1+

1

e2++

1

en)＝

e−2

2e•

1

e[1−(

1

e)n]

1−

1

e＝

e−2

2e(e−1)•(1−

1

en)

Tn+1

Tn＝

1−

1

en+1

1−

点评：

本题考点： 数列与函数的综合；定积分在求面积中的应用；数列与不等式的综合．

考点点评： 一般在作数列与函数的综合题时，多用到数学归纳法的应用，所以要把这几个知识点掌握好．