Question

在100个连续自然数1，2，…，100中，任取51个数．证明：这51个数中，一定有两个数，其中一个数是另一个数的倍数．

Answer 1

解题思路：首先把1，2，…，100分成50组，100个数中每一个都在某一组中且只在一组中，任取51个数，由抽屉原则至少有2个数来自同一组，这两个数中大数必是小数的倍数．

证明：把1，2，…，100分成如下50组：

A₁={1，1×2，1×2²，1×2³，1×2⁴，1×2⁵，1×2⁶}

A₂={3，3×2，3×2²，3×2³，3×2⁴，3×2⁵}

A₃={5，5×2，5×2²，5×2³，5×2⁴}

A₄={7，7×2，7×2²，7×2³}

•

A₂₅={49，49×2}

A₂₆={51}

A₂₇={53}

•

A₅₀={99}

则100个数中每一个都在某一组中且只在一组中，任取51个数，由抽屉原则至少有2个数来自同一组，这两个数中大数必是小数的倍数．

点评：

本题考点： 抽屉原理．

考点点评： 本题主要考查抽屉原理的知识点，解答本题的关键是把50个数进行分组，然后利用抽屉原理进行解答，本题难度较大．