Question

已知AB为抛物线x^2=2py（p＞0）的动弦（1）若AB过焦点(0,p/2）,在AB两点处的切线交与一点,证明：

Answer 1

（1）y=x^2/2p y'=x/p 设A(x1,y1),b(x2,y2) AB:y=kx+p/2 则 x^2=2pkx+p^2 x^2-2pkx-p^2=0

x1*x2=-p^2 ,x1+x2=2pk ,切线方程为 y-y1=x1/p(x-x1),y-y2=x2/p(x-x2)

p( y2-y1)=x1x-x1^2-x2x+x2^2 (x1-x2)x=(x1^2-x2^2)/2 x=(x1+x2)/2=pk

y=y1+kx1-x1^2/p=y1+kx1-2y1=kx1-y1=-p/2 所以 在AB两点处的切线交点在准线上.

（2） m=(m-p)/2 在A,F,B共线时取得最小值