Question

（1）若C3n＝C3n−1+C4n−1，求n的值；

Answer 1

解题思路：（1）依题意，利用组合数公式计算即可求得n的值；

（2）设

(2x−

1

x

)ⁿ展开式中的通项为T_k+1，可求得T_k+1=

C

k

n

•（-1）^k•2^n-k•x^n-2k，依题意，n=2k-2；同理可得n=2r-4，由

C

k

n

(−1)

k

2

n−k

C

r

n

(−1)

r

2

n−r

=-5，可求得r-k=1，进一步可解得k=4，继而可得n的值．

（1）∵

C3n=

C3n−1+

C4n−1，

∴

n(n−1)(n−2)/3×2×1]=

(n−1)(n−2)(n−3)

3×2×1+

(n−1)(n−2)(n−3)(n−4)

4×3×2×1，

整理得：n²-7n=0，

解得：n=7或n=0（舍去）

∴n=7．

（2）设(2x−

1

x)ⁿ展开式中的通项为T_k+1，

则T_k+1=

Ckn•(−

1

x)k•（2x）^n-k=

Ckn•（-1）^k•2^n-k•x^n-2k，

令n-2k=-2，得n=2k-2，

T_r+1=

Crn•（-1）^r•2^n-r•x^n-2r，

令n-2r=-4，n=2r-4．

由题意得

Ckn(−1)k2n−k

Crn(−1)r2n−r=-5，

即

Ckn

Crn(−1)k−r2r−k=-5，

∵r-k=1，

∴化简

2(k+1)

(k−2)=5，解得k=4，

∴n=6．

点评：

本题考点： 二项式定理的应用；组合及组合数公式．

考点点评： 本题考查二项式定理的应用，着重考查组合及组合数公式，考查二项展开式的通项公式，考查运算与转化能力，属于中档题．