Question

大一线性代数 对称矩阵的对角化 1,制作 “2阶对称矩阵的对角化”的“作品” 2,制作 “3阶对称矩阵的对角化”的“作品

Answer 1

1.

A=[1 2]

[-1 4]

|A-λE| = λ^2 - 5λ + 6=(λ - 2)(λ - 3).

所以A的特征值为λ1=2,λ2=3.

(A-2E)X=0的基础解系为:(2,1)'

(A-3E)X=0的基础解系为:(1,1)'

令P = 则 P^-1 =

2 1 1 -1

1 1 -1 2

满足 P^-1AP = diag(2,3)

2.

设A= 1 1 -1

-2 4 -2

-2 2 0

|A-λE| =

1-λ 1 -1

-2 4-λ -2

-2 2 -λ

= (λ - 1)(λ - 2)^2

(A-E)X=0 的基础解系为:(1,2,2)'

(A-2E)X=0 的基础解系为:(1,1,0)',(1,0,-1)'

令P =

1 1 1

2 1 0

2 0 -1

则 P^-1AP = diag(1,2,2)