解题思路：（Ⅰ）由已知条件推导出yn-1-yn=2logaq为常数，从而求出{yn}是首项为23，公差为-2的等差数列，进而求出yn=23+（n-1）•（-2）=25-2n，设{yn}的前n项和为Tn，Tn=-n2+24n=-（n-12）2+144，由此求出当n=12时，前12项和最大，最大值为144．
（Ⅱ）bn=
2
y
n
=225-2n，由此能求出Sn=b1+b2+…+bn=
2
25
3
（1-[1
4
n
）．
（Ⅲ）由yn=2logaxn，得xn=
a
y
n
/2]，由此能求出a＞1时，不存在正整数M，使得n＞M时，xn＞1恒成立．
（Ⅰ）设数列{xn}的公比为q，则xn＝x1qn−1，
∴yn=2logaxn=2logax1qn−1=2logax1+2（n-1）logaq，
∴yn-1-yn=2logax1+2nlogaq-[2logax1+2（n-1）logaq]=2logaq为常数，
∴{yn}是等差数列，
设公差为d，由
y3＝y1+2d＝19
y6＝y1+5d＝13，解得y1=23，d=-2，
∴yn=23+（n-1）•（-2）=25-2n，
设{yn}的前n项和为Tn，
Tn=
n(23+25−2n)
2=-n2+24n
=-（n-12）2+144，
∴当n=12时，前12项和最大，最大值为144．
（Ⅱ）∵bn=2yn=225-2n，
∴
bn+1
bn＝
1
4，
∴Sn=b1+b2+…+bn
=
223(1−
1
4n)
1−
1
4=
225
3（1-[1
4n）．
（Ⅲ）∵yn=2logaxn，∴xn=a
yn/2]，
又∵yn=25-2n，∴n＞12时，yn＜0恒成立，
当0＜a＜1时，a
yn
2＝a12.5−n，
在R上是减函数，为此当n＞12时，xn＝a
yn
2=a12.5-n＜a0=1，
∴当0＜a＜1时，存在M=12，使得当n＞M时，xn＞1恒成立；
当a＞1时，不存在正整数M，使得n＞M时，xn＞1恒成立．
点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；等比数列的性质．
考点点评： 本题考查数列的前n项和最大值的求法，考查满足条件的正整数是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．
1年前
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