如图所示,矩形ABCD中,AE平分∠BAD交BC于E,∠CAE=15°,则下面的结论:

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  • ∵四边形ABCD是矩形,

    ∴∠BAD=90°,OA=OC,OD=OB,AC=BD,

    ∴OA=OD=OC=OB,

    ∵AE平分∠BAD,

    ∴∠DAE=45°,

    ∵∠CAE=15°,

    ∴∠DAC=30°,

    ∵OA=OD,

    ∴∠ODA=∠DAC=30°,

    ∴∠DOC=60°,

    ∵OD=OC,

    ∴△ODC是等边三角形,∴①正确;

    ∵四边形ABCD是矩形,

    ∴AD ∥ BC,∠ABC=90°

    ∴∠DAC=∠ACB=30°,

    ∴AC=2AB,

    ∵AC>BC,

    ∴2AB>BC,∴②错误;

    ∵AD ∥ BC,

    ∴∠DBC=∠ADB=30°,

    ∵AE平分∠DAB,∠DAB=90°,

    ∴∠DAE=∠BAE=45°,

    ∵AD ∥ BC,

    ∴∠DAE=∠AEB,

    ∴∠AEB=∠BAE,

    ∴AB=BE,

    ∵四边形ABCD是矩形,

    ∴∠DOC=60°,DC=AB,

    ∵△DOC是等边三角形,

    ∴DC=OD,

    ∴BE=BO,

    ∴∠BOE=∠BEO=

    1

    2 (180°-∠OBE)=75°,

    ∵∠AOB=∠DOC=60°,

    ∴∠AOE=60°+75°=135°,∴③正确;

    ∵OA=OC,

    ∴根据等底等高的三角形面积相等得出S △AOE=S COE,∴④正确;

    故选C.