(2012•漳州模拟)已知函数f(x)=ax+x2-xlna,(a>1).

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  • 解题思路:(I)求导函数,可得f'(x)=axlna+2x-lna=2x+(ax-1)lna,确定f'(x)>0,即可得函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.

    (Ⅱ)函数y=|f(x)-t|-1有三个零点,转化为f(x)=t±1共有三个根,即y=f(x)的图象与两条平行于x轴的直线y=t±1共有三个交点,根据t-1<t+1,可得f(x)=t+1有两个根,f(x)=t-1只有一个根,从而可求t的值;

    (Ⅲ)问题等价于f(x)在[-1,1]的最大值与最小值之差≤e-1.由(Ⅱ)可知f(x)在[-1,0]上递减,在[0,1]上递增,f(x)的最小值为f(0)=1,最大值等于f(-1),f(1)中较大的一个,构造函数可得f(x)的最大值为f(1)=a+1-lna,从而问题转化为a-lna≤e-1,即可求得a的取值范围.

    (I)证明:求导函数,可得f'(x)=axlna+2x-lna=2x+(ax-1)lna,

    由于a>1,∴lna>0,当x>0时,ax-1>0,∴f'(x)>0,故函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.

    (Ⅱ)令f'(x)=2x+(ax-1)lna=0,得到x=0,f(x),f'(x)的变化情况如下表:

    x (-∞,0) 0 (0,+∞)

    f'(x) - 0 +

    f(x) 递减 极小值1 递增因为函数y=|f(x)-t|-1有三个零点,所以f(x)=t±1共有三个根,即y=f(x)的图象与两条平行于x轴的直线y=t±1共有三个交点.

    y=f(x)在(-∞,0)递减,在(0,+∞)递增,极小值f(0)=1也是最小值,当x→±∞时,f(x)→+∞.

    ∵t-1<t+1,∴f(x)=t+1有两个根,f(x)=t-1只有一个根.

    ∴t-1=fmin(x)=f(0)=1,∴t=2.(9分)

    (Ⅲ)问题等价于f(x)在[-1,1]的最大值与最小值之差≤e-1.

    由(Ⅱ)可知f(x)在[-1,0]上递减,在[0,1]上递增,

    ∴f(x)的最小值为f(0)=1,最大值等于f(-1),f(1)中较大的一个,

    f(−1)=

    1

    a+1+lna,f(1)=a+1-lna,f(1)−f(−1)=a−

    1

    a−2lna,

    记g(x)=x−

    1

    x−2lnx,(x≥1),则g′(x)=1+

    1

    x2−

    2

    x=(

    1

    x−1)2≥0(仅在x=1时取等号)

    ∴g(x)=x−

    1

    x−2lnx是增函数,

    ∴当a>1时,g(a)=a−

    1

    a−2lna>g(1)=0,

    即f(1)-f(-1)>0,∴f(1)>f(-1),

    于是f(x)的最大值为f(1)=a+1-lna,

    故对∀x1,x2∈[-1,1],|f(x1)-f(x2)|≤|f(1)-f(0)|=a-lna,∴a-lna≤e-1,

    当x≥1时,(x−lnx)′=

    x−1

    x≥0,∴y=x-lnx在[1,+∞)单调递增,

    ∴由a-lna≤e-1可得a的取值范围是1<a≤e.

    点评:

    本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;函数的零点与方程根的关系;利用导数研究函数的单调性.

    考点点评: 本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查函数的零点,考查恒成立问题,考查学生分析解决问题的能力,解题的关键是利用导数确定函数的最值.