Question

椭圆4x^2+5y^2=20,F为左焦点,过（-5,0）的直线与椭圆交于不同两点A ,B,求证三角形ABF的内心在一定直

Answer 1

首先可以很轻易得到直线方程

y = k (x-5) ,和椭圆方程联立可以得到方程

(5k^2+4)·x^2+50k^2·x + 125·k^2 - 20 =0

x1+x2 = -50k^2 / (5·k^2+4)

x1·x2 = (125k^2-20) / (5·k^2+4)

x1,x2为A,B两点的横坐标,则AF,BF两直线方程均可写成 y=yi / (xi+1) ·(x+1),i=1,2

两直线斜率加和得 (y1x2+y2x1+y1+y2) / ((x1+1)·(x2+1))

y1,y2,均满足y = k (x-5),使用x1,x2代换化简,并将x1+x2,x1·x2 带入分子,

可以得到表达式值为0

由于两直线相交于点（-1,0）

因此证明AF,BF两直线关于x=-1 对称,

因此x=-1 是角AFB的角平分线,而内心必定在内角平分线上,

因此得证内心在一定直线 x=-1 上