Question

证明：2（√（n+1）-1）＜1+1/√2+1/√3+···+1/√n＜2√n

Answer 1

设Sn=2（√（n+1）-1）为数列｛an｝的前n项和,

Tn=2√n为数列｛bn｝的前项和

那么a1=2（√2-1）＜1＜b1=2

当n＞1时,an=Sn-S（n-1）=2（√（n+1）-√n）=2/（√（n+1）+√n）＜2/(√n+√n)=1/√n

bn=Tn-T（n-1）=2（√n-√（n-1）=2（√n+√n-1）＞2（√n+√n）=1/√n

所以an＜1/√n＜bn

所以

a1＜1/√1＜b1

a2＜1/√2＜b2

a3＜1/√3＜b3

a4＜1/√4＜b4

》》》》》》

an＜1√n＜bn

以上n个不等式相加得

2（√（n+1）-1）＜1+1/√2+1/√3+···+1/√n ＜2√n