Question

已知a,b为正有理数,根号下a,根号下b为无理数,猜想根号下a+根号下b是有理数还是无理数并证明.

Answer 1

√a +√b是无理数.

假设 x= √a +√b 是有理数.

则 √b =x -√a, x≠0.

所以 b = (x -√a)^2

= x^2 -2x √a +a,

所以 √a = (x^2 +a -b) / (2x), x≠0.

又因为 a,b,x 为有理数,

所以 (x^2 +a -b) / (2x) 为有理数,

与 √a 为无理数矛盾.

所以 假设不成立,

即 a +√b是无理数.