过点A(-2,-2)的动直线与抛物线y^2=8x交于B、C两点.求:线段BC的中点P的轨迹方程

2个回答

  • 设直线方程为y+2=a(x+2),B(x1,y1),C(x2,y2),P(m,n)

    ⑴当a≠0时

    有:y1^2=8*x1 ...①

    y2^2=8*x2 ...②

    由(1)-(2),整理得

    y1+y2=8(x1-x2)/(y1-y2)

    2n=y1+y2=8/a

    因此 n=4/a ...③

    把y=ax+2a-2代入y^2=8x,整理得

    a^2x^2+2(a^2-a-4)x+4(a-1)^2=0

    由韦达定理得,

    2m=x1+x2=-2(a^2-a-4)/a^2

    因此m=-(a^2-a-4)/a^2 ...④

    由式③、④消去a得:

    m=-1+n/4+n^2/4

    因此轨迹方程为

    4x=y^2+y-4

    ⑵当a=o时,直线方程为y=-2,与抛物线y^2=8x交于一点(0.5,-2)不符题意

    综上,所求轨迹方程为 4x=y^2+y-4