Question

（2012•江西模拟）定义在R上的函数y=f（x）满足f（5+x）=f（-x），（x-[5/2]）f′（x）＞0，已知x

Answer 1

解题思路：先求出对称轴，然后根据

(x−

5

2

)

f

/

(x)＞0

可判定函数在对称轴两侧的单调性，最后根据函数的单调性可验证是充要条件．

∵f（5+x）=f（-x），所以函数f（x）关于x=[5/2]对称

∵(x−

5

2)f/(x)＞0，

∴x＞[5/2]时，f'（x）＞0 函数f（x）单调递增；当x＜[5/2]时，f'（x）＜0 函数f（x）单调递减

当x₁＜x₂时，若f（x₁）＞f（x₂）则有x₁＜x₂＜5-x₁，∴x₁+x₂＜5成立，故条件充分

当x₁+x₂＜5时，必有x₂＜5-x₁成立，又因为x₁＜x₂，所以f（x₁）＞f（x₂）成立，故必要

f（x₁）＞f（x₂）是x₁+x₂＜5的充要条件

故选C．

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的单调性；必要条件、充分条件与充要条件的判断．

考点点评： 本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系和充分、必要条件的判定．属中档题．