Question

（2013•成都一模）在数列{an}中，a1=2，a2=4，且当n≥2时，a 2n＝an−1an+1，n∈N*

Answer 1

解题思路：（I）由已知可得，数列{a_n}是等比数列，结合已知及等比数列的通项公式可求

（II）由b_n=（2n-1）a_n=（2n-1）•2ⁿ，结合通项的特点考虑利用错位相减求和

（III）假设存在正整数对（m，n），使得等式

a

n

2

−m

a

n

+4m＝0

，把已知a_n的通项代入可整理出m与n的关系式，结合基本不等式可求m的最小值，进而可求

（I）由已知可得，数列{a_n}是等比数列

∵a₁=2，a₂=4

∴q＝

a2

a1=2

∴an＝a1qn−1=2ⁿ

（II）∵b_n=（2n-1）a_n=（2n-1）•2ⁿ

∴Sn＝1•2+3•22+5•23+…+(2n−1)•2n

2S_n=1•2²+3•2³+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹

两式相减可得，−Sn＝2+2(22+23+…+2n)−(2n−1)•2n+1

=2−

8(1−2n)

1−2−(2n−1)•2n+1

=-6+2^n-2-n•2ⁿ⁺²+2ⁿ⁺¹

∴Sn＝(2n−3)•2n+1+6

（III）假设存在正整数对（m，n），使得等式an2−man+4m＝0

∵an＝2n

∴2²ⁿ=m（2ⁿ-4）成立

∵m∈N^*∴2ⁿ＞4

∴m＝

22n

2n−4=

22n−16+16

2n−4=2n−4+

16

2n−4+8≥16

当且仅当2ⁿ-4=4即n=3时取等号

∵2ⁿ＞4

∴

16

2n−4∈N*

∴2ⁿ-4=1或2或8或16，此时均无解

故符合题意的正整数对只有（16，3）

点评：

本题考点： 数列递推式；数列的求和．

考点点评： 本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用，数列的递推公式的应用，错位相减求和方法的应用及一定的逻辑推理与运算的能力