如图,正方形ABCD中,E是CD的中点,EF⊥AE.

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  • 解题思路:(1)利用互余关系证明∠EFC=∠AED,又有∠ADE=∠FCE=90°,可证△ADE∽△ECF;

    (2)由(1)的相似得CF:CE=DE:DA=1:2,可得CF=[1/2]CE=[1/4]CD,得出结论;

    (3)延长FE交AD的延长线于G,根据EG=EF,EF⊥AE,得AE垂直平分FG,根据垂直平分线的性质证明结论.

    证明:(1)∵∠ADE=∠FCE=90°,又AE⊥EF,

    ∴∠AED+∠FEC=180°-∠AEF=90°,

    又∠EFC+∠FEC=90°,

    ∴∠EFC=∠AED,

    ∴△ADE∽△ECF;

    (2)∵CE=ED,CD=BC,

    由(1)得CF:CE=DE;DA=1:2,∴CF=[1/2]CE=[1/4]CD

    从而CF:CB=1:4.

    ∴BF=3CF.

    (3)延长FE交AD的延长线于G.

    ∵∠GDE=∠ECF=90°,∠DEG=∠FEC,又DE=EC,

    ∴△DEG≌△CEF,

    ∴∠G=∠EFC,

    而EF⊥AE,且EG=EF,

    ∴AE是FG的垂直平分线,

    ∴AF=AG,

    即∠AFE=∠G=∠EFC,

    ∴EF平分∠AFC.

    点评:

    本题考点: 相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;线段垂直平分线的性质;正方形的性质.

    考点点评: 本题考查了相似三角形、全等三角形的判定与性质,线段垂直平分线的性质及正方形的性质.关键是利用互余关系证明相似三角形,利用作辅助线构造全等三角形.