Question

1.设椭圆x^2/6+y^2/a^2=1(a>0)的焦点在x轴上,o为坐标原点,P,Q为椭圆上两点,使得OP所在直线的斜

Answer 1

1、根据题意

可得OP所在的直线方程为y=x

因为OP⊥OQ

所以OQ所在直线的斜率为-1

OQ所在直线方程为y=-x

因为PQ在椭圆上

所以OP所在的直线与椭圆方程联立

可得P点

OQ所在的直线与椭圆方程联立

可得Q点

将y=x代入x²/6+y²/a²=1

x²/6+x²/a²=1

解得x=√(6a²/(a²+6))

y=x=√(6a²/(a²+6))

OP=√(12a²/(a²+6))

同理得OQ=√(12a²/(a²+6))

△POQ的面积=1/2*OP*OQ=6a²/(a²+6)=3a√2/4

化简得a²-4√2a+6=0

a=√2或a=3√2

因为焦点在x轴上

所以a²＜6

a=√2符合

c²=6-2=4

焦距2c=4

2、

(1)|xn|=|√(（n+1）^2+1) a1a2...an|

|x(n+1)|=|√(（n+2）^2+1) a1a2...anan+1|

|x(n+1)|/|xn|=|√(（n+2）^2+1) a1a2...anan+1|/|√(（n+1）^2+1) a1a2...an|

=|√((n+2)^2+1)/(n+1)^2+1) a(n+1)|

a(n+1)= √2√(1-(2(n+1)+1)/((n+2)²+1))

|√((n+2)^2+1)/(n+1)^2+1) a(n+1)|=| √2√((n+2)²+1)-2(n+1)+1)/ (n+1)^2+1)|

=|√2√(n²+2n+2)/ (n²+2n+2)|=√2=q

所以|xn|是公比为√2的等比数列

(2) Sn=x1+x2+...+xn即等比数列求和

Sn=x1(1-q^n)/(1-q)

a 1=√2×√(1-(2*1+1)/(1^2+2*1+2))=2/5

x1=√(（1+1）^2+1) a1=2√5/5

Sn=x1(1-q^n)/(1-q)

=(2√5/5)*(1-(√2)^n)/(1-√2)

=(2√5/5)*(√2+1)* ((√2)^n-1)