(2013•海门市二模)如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=2,点P是射线DA上的一动点,DE⊥CP,垂足为E,EF⊥

1个回答

  • 解题思路:(1)①由于∠DEC、∠FEB都是直角,那么∠DEF、∠CEB为同角的余角,由此可得∠DEF=∠CEB,同理可证得∠EDF=∠BCE,由此得证.

    ②此题可通过两步相似,即△DEC∽△PDC和△DEF∽△CEB,来证得PD=DF,从而求得y、x的函数关系式;

    (2)设AP的长为x,根据△EFC与△BEC面积之比为3:16,列出有关x的方程,求解即可.

    (1)①∵四边形ABCD为矩形,

    ∴AD∥BC,∠ADC=90°,

    ∴∠ECB=∠DPE,∠PDE+∠CDE=90°,

    ∵DE⊥CP,

    ∴∠DEP=∠DEC=90°,

    ∴∠PDE+∠DPE=90°,

    ∴∠DPE=∠CDE,

    ∵∠ECB=∠DPE,

    ∴∠ECB=∠EDF,

    ∵∠DEC=90°,

    ∴∠DEF+∠FEC=90°.

    ∵EF⊥BE,

    ∴∠CEB+∠FEC=90°,

    ∴∠DEF=∠CEB,

    ∴△DEF∽△CEB.

    ②∵△DEF∽△CEB,

    ∴[DF/CB]=[DE/CE],

    ∵DF=y,BC=2,AP=x,AB=4,

    ∴[y/2]=[DE/CE],DP=2-x,CD=4,

    由∠PDC=90°,DE⊥CP,易证△DPC∽△EDC,

    ∴[DE/CE]=[DP/DC]=[2−x/4],

    ∴[y/2]=[2−x/4],

    ∴y=-[1/2]x+1,

    ∴x的取值范围为0<x<2.

    (2)AP长为-2+

    13或2+

    13或2+

    19.

    点评:

    本题考点: 相似形综合题.

    考点点评: 此题考查了相似形的综合,此题主要考查了正方形的性质以及相似三角形的判定和性质,难度较大,