解题思路:(1)①由于∠DEC、∠FEB都是直角,那么∠DEF、∠CEB为同角的余角,由此可得∠DEF=∠CEB,同理可证得∠EDF=∠BCE,由此得证.
②此题可通过两步相似,即△DEC∽△PDC和△DEF∽△CEB,来证得PD=DF,从而求得y、x的函数关系式;
(2)设AP的长为x,根据△EFC与△BEC面积之比为3:16,列出有关x的方程,求解即可.
(1)①∵四边形ABCD为矩形,
∴AD∥BC,∠ADC=90°,
∴∠ECB=∠DPE,∠PDE+∠CDE=90°,
∵DE⊥CP,
∴∠DEP=∠DEC=90°,
∴∠PDE+∠DPE=90°,
∴∠DPE=∠CDE,
∵∠ECB=∠DPE,
∴∠ECB=∠EDF,
∵∠DEC=90°,
∴∠DEF+∠FEC=90°.
∵EF⊥BE,
∴∠CEB+∠FEC=90°,
∴∠DEF=∠CEB,
∴△DEF∽△CEB.
②∵△DEF∽△CEB,
∴[DF/CB]=[DE/CE],
∵DF=y,BC=2,AP=x,AB=4,
∴[y/2]=[DE/CE],DP=2-x,CD=4,
由∠PDC=90°,DE⊥CP,易证△DPC∽△EDC,
∴[DE/CE]=[DP/DC]=[2−x/4],
∴[y/2]=[2−x/4],
∴y=-[1/2]x+1,
∴x的取值范围为0<x<2.
(2)AP长为-2+
13或2+
13或2+
19.
点评:
本题考点: 相似形综合题.
考点点评: 此题考查了相似形的综合,此题主要考查了正方形的性质以及相似三角形的判定和性质,难度较大,