​直三棱柱ABC-A1B1C1底面三角形ABC中,CA=CB=1,角BCA=90度,棱AA1=2

1个回答

  • (1)

    取BB1中点E,BC中点F,A1B1中点G

    连接EF,EG,GF

    ∴EG//=1/2A1B

    EF//=1/2B1C

    ∴异面直线BA1与CB1夹角即∠GEF或∠GEF的补角

    ∵直三棱柱

    ∠ACB=90°,CA=CB=1,AA1=2

    ∴A1B=√6,∴EG=√6/2

    B1C=√5,∴EF=√5/2

    FG=√17/2

    ∴余弦定理

    cos∠GEF=(EG²+EF²-FG²)/(2EG*EF)=-√30/10

    ∴异面直线BA1与CB1夹角的余弦值=√30/10

    (2)

    建立以C原点,CA为x轴,CB为y轴,CC1为z轴的空间直角坐标系

    A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,0)

    B1(0,1,2)

    向量AB1=(-1,1,2)

    向量AB=(-1,1,0)

    向量AC=(-1,0,0)

    设a,b是面CAB1和面BAB1的法向量

    ∴a·向量AB1=0 b·向量AB1=0

    a·向量AC=0 b·向量AB=0

    不妨设a=(0,-2,1),b=(1,1,0)

    cos

    =ab/|a||b|=-2/(√5*√2)=-√10/5

    ∵二面角B-AB1-C平面角是锐角

    ∴二面角B-AB1-C平面角的余弦值=√10/5