解题思路：（1）利用导数判断函数的单调性求出递增区间；
（2）转化为求函数的最大值问题解决，利用导数求出函数的最大值即得结论；
（3）利用导数的几何意义求出求出斜率，判断斜率的大小关系，得出结论．
解 （1）证明：f′（x）=xsinx，
当x∈（0，π）时，sinx＞0，所以f′（x）＞0恒成立，
所以f （x） 在（0，π）上单调递增．
（2）因为f′（x）＞[1/2]x2+λx，所以xsinx＞[1/2]x2+λx．
当0＜x＜π时，λ＜sinx-[1/2]x．
设φ（x）=sinx-[1/2]x，x∈（0，π），则φ′（x）=cosx-[1/2]．
当0＜x＜[π/3]时，φ′（x）＞0；当[π/3]＜x＜π时，φ′（x）＜0．
于是φ （x）在（0，[π/3]）上单调递增，在 （[π/3]，π）上单调递减，
所以当0＜x＜π时，φ（x）max=g （[π/3]）=
3
2-[π/6]
因此λ＜
3
2-[π/6]．
（3）由题意知只要判断
F(x3)−F(x2)
x3−x2＜
F(x2)−F(x1)
x2−x1的大小．
首先证明：
F(x3)−F(x2)
x3−x2＜F′（x2）．
由于x2＜x3，因此只要证：F（x3）-F（x2）＜（x3-x2） F′（x2）．
设函数G（x）=F（x）-F（x2）-（x-x2） F′（x2）（ x2＜x＜π），
因为F′（x）=xcosx-sinx=-f（x），所以G′（x）=F′（x）-F′（x2）=f （x2）-f （x），
由（1）知f（x）在（0，π）上为增函数，所以G′（x）＜0．
则G（x）在（x2，π）上单调递减，又x＞x2，故G（x）＜G（x2）=0．
而x2＜x3＜π，则G（x3）＜0，即F（x3）-F（x2）-（x3-x2） F′（x2）＜0，即F（x3）-F（x2）＜（x3-x2） F′（x2）．
从而
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；导数的运算．
考点点评： 本题以三角函数为载体，考查导数的应用及分类讨论思想，适时结合形分析．其中第三问找一个中间量F′（x2），难度稍大．