Question

（2014•深圳二模）过点（0，-1）的直线l与两曲线y=lnx和x2=2py均相切，则p的值为（　　）

Answer 1

解题思路：分别设出两切点，再求出两函数的导数，并用两种形式写出切线的斜率，再结合两点的斜率公式，列方程解出x₁，x₂，从而求出p的值．

设直线l与两曲线y=lnx和x²=2py相切的切点分别是A（x₁，lnx₁），B（x₂，

x22

2p），

∵y=lnx的导数为y′=[1/x]，x²=2py即y=

x2

2p的导数为y′=[x/p]，

∴直线l的斜率为[1

x1＝

x2/p]，

又直线l过（0，-1），

∴直线l的斜率且为

lnx1+1

x1＝

x22

2p+1

x2，

∴x₁=1，x₂=p，

p2

2p+1=p，

∴p=2．

故选C．

点评：

本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，抓住在某点处的导数即为在这点处切线的斜率，同时注意运用两点的斜率公式，是一道中档题．