Question

设数列{a n }的前n项和为S n ，已知a 1 =a（a≠3），S n+1 =2S n +3 n ，n∈N * ．

Answer 1

（1）当a≠3时，

b n+1

b n

S n+1 - 3 n+1

S n - 3 n =

2 S n + 3 n - 3 n+1

S n - 3 n =2

所以{b _n}为等比数列． （4分）

（2）b ₁=S ₁-3=a-3，（1分）b _n=（a-3）×2 ^n-1． （2分）

所以S _n-3 ⁿ=（a-3）×2 ^n-1（3分）a _n=S _n-S _n-1，n≥2，n∈N ^*a n =

a

2× 3 n-1 +(a-3)× 2 n-2 ，

n=1

n≥2 ；（6分）

（3）a _n+1≥a _n，

a 2 ＞ a 1

a n+1 ＞ a n ，

n＞2 ，（2分）

a≥-9（5分）

所以a≥-9，且a≠3． （6分）