Question

设函数f（x）=|x3-1|φ（x），其中φ（x）在x=1处连续，则φ（1）=0是f（x）在x=1处可导的（　　）

Answer 1

解题思路：被积函数含有绝对值，应当作分段函数看待，利用f（x）在x=1处左右导数定义讨论即可．

因为

lim

x→1+

f(x)−f(1)

x−1＝

lim

x→1+

x3−1

x−1•ϕ(x)＝3ϕ(1)，

lim

x→1−

f(x)−f(1)

x−1＝−

lim

x→1−

x3−1

x−1•ϕ(x)＝−3ϕ(1)，

可见，f（x）在x=1处可导的充分必要条件是

3ϕ（1）=-3ϕ（1）⇔ϕ（1）=0．

故选：A．

点评：

本题考点： 分段函数的求导．

考点点评： 函数表达式中含有绝对值、取极值符号（max，min）等，均应当作分段函数处理．一般地，函数g（x）=|x-x0|ϕ（x）在点x=x0处可导的充要条件是ϕ（x0）=0．