解题思路：（1）先对函数进行求导，根据导函数大于0原函数单调递增，导函数小于0原函数单调递减可得答案；
（2）由（1）可知，f（x）的最小值为
g(a)＝f(
1
a
)＝1−(a+1)ln(
1
a
+1)
，a＞0，构造函数设
φ(x)＝ln(x+1)−
x
x+1
，x∈（0，+∞），利用导数研究函数的单调性和最值，即可证明结论．
（1）由已知可得函数f（x）的定义域为（-1，+∞），
而 f′(x)＝
a(x−
1
a)
x+1，
∵a＞0，x＞-1，∴当 −1＜x＜
1
a时，f'（x）＜0，
当 x＞
1
a时，f'（x）＞0，
∴函数f（x）的单调递减区间是 (−1，
1
a)，单调递增区间是 (
1
a，+∞)．
（2）由（1）可知，f（x）的最小值
为 g(a)＝f(
1
a)＝1−(a+1)ln(
1
a+1)，a＞0．
要证明 −
1
a＜g(a)＜0，
只须证明 [1/a+1＜ln(
1
a+1)＜
1
a]成立．
设 φ(x)＝ln(x+1)−
x
x+1，x∈（0，+∞）．
则 φ′(x)＝
1
x+1−
1
(1+x)2＝
x
(1+x)2＞0，
∴φ（x）在区间（0，+∞）上是增函数，∴φ（x）＞φ（0）=0，即 ln(x+1)＞
x
x+1．
取 x＝
1
a得到 [1/a+1＜ln(
1
a+1)成立．
设ψ（x）=ln（x+1）-x，x∈（0，+∞），同理可证ln（x+1）＜x．
取 x＝
1
a]得到 ln(
1
a+1)＜
1
a成立．因此，−
1
a＜g(a)＜0．
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
考点点评： 本题以函数为载体，，主要考查利用导数研究函数的单调性，以此为主线，贯穿其中．但对以上第二个问题的解答，关键是构造函数，这是函数这一章节的重点和难点，属难题．