在哪里,帮忙做下第二和第三题,

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  • 第二题:假设特征值为lumbda,特征向量为x,则满足Ax=lumbda*x即(A-lumbda*E)x=0,其中E是单位矩阵,因此(A-lumbda*E)x=0存在非零解,则(A-lumbda*E)不是满秩,也就是(A-lumbda*E)的行列式等於零,於是可以列出关於lumbda的三次多项式,解之得lumbda=6或者lumbda=-1(重解).然後代入Ax=lumbda*x求出x(有三个)为特征向量.由於特征值均不为零,可以得出矩阵为满秩3.

    第三题:正定矩阵满足特征值则任意非零向量m有:((m的转置)*A*m)>0;假设任意向量为m=[x,y,z]则若要矩阵正定需满足(x,y,z)T*A*(x,y,z)>0(T是转置符号).展开上式得到tx^2+ty^2+tz^2+2xy+2xz-2yz>0;将后面三项放到平方式里面则化为(t-2)*x^2+(t-2)y^2+(t-2)z^2+(x+y)^2+(x+z)^2+(y+z)^2>0,由于x、y、z不全为零所以只要t>=2就可以保证A为正定.