在△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,M是BC的中点,P为线段AB上的一个动点(可以与A、B重合),并作∠MP

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  • 解题思路:(1)△BMP中,BM的长易求得,关键是求BM边上的高;过P作PH⊥BC于H,易证得△BPH∽△BAC,通过相似三角形得出的成比例线段可求出PH的长,进而可求出y、x的函数关系式;

    (2)所求的两个三角形中,已知∠MPD=∠ACB=90°,若使两三角形相似要分两种情况进行讨论;

    一、D在BC上,

    ①∠PMB=∠B,此时PM=BM,MH=BH=2,可根据相似三角形得出的成比例线段求出x的值;②∠PMB=∠A,此时△BPM∽△BCA,同①可求得x的值;

    二、D在BC延长线上时;

    由于∠PMD>∠B,因此只有一种情况:∠PMD=∠BAC;当P、A重合时,易证得∠MAC=∠PDM,由于tan∠MAC=[2/3]<tan∠B,所有∠MAC<∠B,即当D在BC延长线上时,∠PDM总小于∠B,所有△PDM和△ABC不会相似;

    综合两种情况,可得出符合条件的x的值.

    (1)过P作PH⊥BC于H,则PH∥AC;

    Rt△ABC中,AC=6,BC=8;则AB=10.

    ∵P为AB上动点可与A、B重合(与A重合BP为0,与B重合BP为10)

    但是x不能等于5.

    ∵当x=5时,P为AB中点,PM∥AC,得到PD∥BC,PD与BC无交点,与题目已知矛盾,所以x的取值范围是,0≤x≤10 且x≠5,

    易知△BPH∽△BAC,得:

    [PH/AC=

    BP

    AB],PH=[AC•BP/AB]=[3/5]x;

    ∴y=[1/2]×4×[3/5]x=[6/5]x(0≤x≤10 且x≠5);

    (2)当D在BC上时,

    ①∠PMB=∠B时,BP=PM,MH=BH=2;

    MP=x,AB=10,MH=2,BC=8,

    此时△MPD∽△BCA,

    ∴△MPD∽△MHP,

    ∴△MHP∽△BCA,

    [MP/AB=

    MH

    BC],

    得:[x/10=

    2

    8],解得x=

    5

    2;

    ②∠PMB=∠A时,△DPM∽△BCA,得:[DP/BC]=[DM/BA],即DP•BA=DM•BC;

    ∴10x=4×8,解得x=[16/5];

    当D在BC延长线上时,

    由于∠PMD>∠B,所以只讨论∠PDM=∠B的情况;

    当P、A重合时,Rt△MPD中,AC⊥MD,则∠MAC=∠PDM,

    ∵tan∠MAC=[2/3],tanB=[3/4],tan∠MAC<tanB,

    ∴∠MAC<∠B,即∠PDM<∠B;

    由于当P、A重合时,∠PDM最大,故当D在BC延长线上时,∠B>∠PDM;

    所以△PDM和△ACB不可能相似;

    综上所述,存在符合条件的P点,且x=2.5或3.2.

    点评:

    本题考点: 相似三角形的判定与性质;待定系数法求一次函数解析式.

    考点点评: 此题主要考查了相似三角形的判定和性质,需注意的是(2)题中,虽然当D在BC延长线上的情况不成立,但是一定要将这种情况考虑到,以免漏解.