Question

如图 已知AD是三角形ABC的角平分线（ 角ABC大于角B）

Answer 1

【题目】如图,已知AD是△ABC的角平分线（∠ACB＞∠B）,EF⊥AD于P,交BC延长线于M,

（1）如果∠ACB=90°,求证：∠M=∠1；

（2）求证：∠M=1/2(∠ACB-∠B)【分析】（1）先根据AD是△ABC的角平分线得出∠1=∠2,再由EF⊥AD于P得出∠1+∠AEP=90°,∠APE=∠APF,故∠AEP=∠AFP,再根据∠AFP=∠CFM可得出∠CFM=∠AEP,再由∠ACB=90°可∠M+∠CFM=90°,通过等量代换即可得出结论；

（2）首先由三角形的内角和定理证出∠AEF=∠AFE=∠CFM,由三角形的外角性质得到∠AEF=∠B+∠M,∠MFC=∠ACB-∠M,代入即可得出答案.【解答】

（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线

∴∠1=∠2

∵EF⊥AD于P

∴∠1+∠AEP=90°,∠APE=∠APF=90°

∴∠AEP=∠AFP

∵∠AFP=∠CFM

∴∠CFM=∠AEP

∵∠ACB=90°

∴∠M+∠CFM=90°

∴∠M+∠AEP=90°

∴∠M=∠1

（2）证明：∵EF⊥AD,AD平分∠BAC

∴∠1=∠2,∠APE=∠APF=90°

又∵∠AEF=180°-∠1-∠APE,∠AFE=180°-∠2-∠APF

∴∠AEF=∠AFE

∵∠CFM=∠AFE

∴∠AEF=∠AFE=∠CFM

∵∠AEF=∠B+∠M,∠MFC=∠ACB-∠M

∴∠B+∠M=∠ACB-∠M即∠M=1/2(∠ACB-∠B)