楼上纯属乱答.ux表示u对x的偏导,uxx表示2阶偏导
只要验证u(x,y)是否满足拉普拉斯方程
ux=(y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2
uxx=(2x^3-6xy^2)/(x^2+y^2)^3
uy=-2xy/(x^2+y^2)^2
uyy=(-2x^3+6xy^2)/(x^2+y^2)^3
所以uxx+uyy=0满足拉普拉斯方程,于是u为调和函数.
下面只要求出u(x,y)的共轭调和函数v(x,y)
由ux=(y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2=vy
得v(x,y)=∫(y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2 dy=-y/(x^2+y^2)+g(x)
又vx=-uy
vx=2xy/(x^2+y^2)+g'(x)
且-uy=2xy/(x^2+y^2)^2
所以g'(x)=0,g(x)=C
所以v(x,y)=-y/(x^2+y^2)+C
所以解析函数为f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)
=[x/(x^2+y^2)]+i[-y/(x^2+y^2)+C]