设X服从参数设X服从参数为λ=1的指数分布,求Y=X^2的概率密度.

1个回答

  • X的概率密度函数:

    fX(x)={ e^-x ,x>0

    { 0 ,x0时,有FY(y)=P{X^2≤y}=P{-√y≤x≤√y}=∫(-√y→√y)fX(x)dx

    fY(y)=d[FY(y)]/dy

    =d[∫(-√y→√y)fX(x)dx]/dy

    =fX(√y)*(√y)'-fX(-√y)*(-√y)'

    =fX(√y)*[1/(2√y)]-fX(-√y)*[-1/(2√y)]

    =1/(2√y)*[fX(√y)+fX(-√y)]

    =1/(2√y)*[e^(√y)+e^(-√y)]

    所以Y的概率密度函数:

    fY(y)={ 1/(2√y)*[e^(√y)+e^(-√y)] ,y>0

    { 0 ,y≤0

    要注意积分上下限为变量的求导的方法,d[∫(-√y→√y)fX(x)dx]/dy=fX(√y)*(√y)'-fX(-√y)*(-√y)'这一步是关键