e^(iωt) = cos(ωt)+isin(ωt).
乘到分子上得αcos(ωt)+ωsin(ωt)+iαsin(ωt)-iωcos(ωt).
积分可拆为两部分,分别是∫{-∞,+∞} (αcos(ωt)+ωsin(ωt))/(α²+ω²) dω,
和∫{-∞,+∞} (iαsin(ωt)-iωcos(ωt))/(α²+ω²) dω.
前者是偶函数的积分,可化为2∫{0,+∞} (αcos(ωt)+ωsin(ωt))/(α²+ω²) dω.
后者是奇函数在对称区间上的积分,为0.
因此得到图中的化简结果.