Question

向量组证明,用秩已知n维向量α1,α2,α3线性无关.若β1,β2,β3可由α1,α2,α3线性表示,即(β1,β2,β

Answer 1

必要性:

因为 |C|≠0 所以 C可逆

所以 r(β1,β2,β3)=r[(α1,α2,α3)(C)] = r(α1,α2,α3) = 3

所以 β1,β2,β3线性无关

充分性:

已知 β1,β2,β3线性无关

所以 齐次线性方程组 (β1,β2,β3)X=0 只有零解

所以 (α1,α2,α3)CX = 0 只有零解

而 α1,α2,α3 线性无关, (α1,α2,α3)X=0 只有零解

所以 CX=0 只有零解

所以 r(C)=3

所以 |C| ≠0