解题思路：（1）把a=0代入函数解析式，然后直接利用导数求最小值；
（2）把
f(p+1)−f(q+1)
p−q
化为
f(p+1)−f(q+1)
(p+1)−(q+1)
，表示点（p+1，f（p+1））与点（q+1，f（q+1））连线的斜率，即函数图象在区间（2，3）任意两点连线的斜率大于1，即f′（x）=2ax+lnx+1＞1在x∈（2，3）内恒成立．然后利用分离变量法结合导数得答案；
（3）由（2）得，
−
lnx
x
≥g(e)
，即得到[lnx
x
3
≤
1/e
1
x
2
]，然后利用错位相减法求数列的和，放缩后得答案．
（1）∵a=0时，f（x）=xlnx（x＞0），
由f′（x）=1+lnx＞0，得x＞
1
e，
∴f（x）在(0，
1
e)上递减，在(
1
e，+∞)上递增．
∴f(x)min＝f(
1
e)＝−
1
e；
（2）
f(p+1)−f(q+1)
p−q=
f(p+1)−f(q+1)
(p+1)−(q+1)，
表示点（p+1，f（p+1））与点（q+1，f（q+1））连线的斜率，又1＜p＜2，1＜q＜2，
∴2＜p+1＜3，2＜q+1＜3，即函数图象在区间（2，3）任意两点连线的斜率大于1，
即f′（x）=2ax+lnx+1＞1在x∈（2，3）内恒成立．
∴当x∈（2，3）时，2a≥−
lnx
x恒成立．
∴2a≥(−
lnx
x)max．
设g(x)＝−
lnx
x，x∈(2，3)，
则g′(x)＝
lnx−1
x2．
若g′（x）=0，则x=e．
当2＜x＜e时，g′（x）＜0，g（x）在（2，e）上单调递减；当e＜x＜3时，g′（x）＞0，g（x）在（e，3）上单调递增．
又g(2)＝−
ln2
2＞g(3)＝−
ln3
3，
∴2a≥−
ln2
2．
故a≥−
ln2
4；
（3）由（2）得，−
lnx
x≥g(e)，
∴[lnx/x≤
1
e]，
∴[lnx
x3≤
1/e
1
x2]，
∴[ln2
23+
ln3
33+…+
lnn
n3≤
1/e(
1
22+
1
32+…+
1
n2)，
又
1
22+
1
32+…+
1
n2＜
1
1×2+
1
2×3+…+
1
(n−1)n]=(1−
1
2)+(
1
2−
1
3)+…+(
1
n−
1
n+1)=1-[1/n＜1，
∴
ln2
23]+[ln3
33+
ln
43+…+
lnn
n3＜
1/e]．
点评：
本题考点： 函数恒成立问题；利用导数求闭区间上函数的最值．
考点点评： 本题考查了函数恒成立问题，考查了利用导数求函数的最值，训练了裂项相消法求数列的和，是压轴题．
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