(2013•江门二模)环保刻不容缓,或许人类最后一滴水将是自己的泪水.某地水资源极为紧张,且受工业污染严重,预计20年后

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  • 解题思路:(1)分1≤n≤4时和n≥5时两种情况加以讨论并结合等差、等比数列的通项公式,分别求出第n年新城区的住房建设面积为λn关于n、a的表达式,再利用等差、等比数列的求和公式即可求出{an}的通项公式关于n的分段形式的表达式;

    (2)根据1≤n≤3、n=4 和5≤n≤11时an+1和bn的表达式,结合作差法比较不等式大小,可得an+1<bn;而当 n≥12时可得an+1-bn=(5n-59)a>0,从而得到an+1>bn,最后加以综合即可得到an+1与bn的大小的两种情况.

    (1)设第n年新城区的住房建设面积为λnm2,则当1≤n≤4时,λn=2n-1a;…(1分)

    当n≥5时,λn=(n+4)a.

    所以,当1≤n≤4时,an=(2n-1)a

    当n≥5时,an=a+2a+4a+8a+9a+…+n(n+4)a=

    n2+9n−22

    2a

    ∴an=

    (2n−1)a(1≤n≤4)

    n2+9n−22

    2a(n≥5)

    (2)当1≤n≤3时,an+1=(2n+1-1)a,bn=(2n-1)a+64a-4na,显然有an+1<bn

    当n=4 时,an+1=a5=24a,bn=b4=63a,此时an+1<bn

    当5≤n≤16时,an+1=

    n2+11n−12

    2a,bn=

    n2+9n−22

    2a+64a−4na

    ∵an+1-bn=(5n-59)a.

    ∴当5≤n≤11时,an+1<bn;当12≤n≤16时,an+1>bn

    当n≥17时,显然an+1>bn

    故当1≤n≤11时,an+1<bn;当 n≥12时,an+1>bn

    点评:

    本题考点: 数列的应用.

    考点点评: 本题给出数列的实际应用题,求{an}的通项公式并比较an+1和bn的大小.着重考查了等差、等比数列的通项公式与求和公式,以及不等式比较大小等知识,属于中档题.