Question

对于给定数列{cn}，如果存在实常数p、q，使得cn+1=pcn+q对于任意n∈N*都成立，我们称数列{cn}是“M类数

Answer 1

解题思路：（1）根据M类数列的定义，尝试将a_n=2n，b_n=3•2ⁿ，n∈N^*化为c_n+1=pc_n+q的形式即可；

（2）①由a_n+a_n+1=3•2ⁿ（n∈N^*），将数列中的相邻两项两两和为一项，利用等比数列前n项和求和；

②由M类数列的定义出发，结合a_n+a_n+1=3•2ⁿ（n∈N^*），推出实常数p、q，代入即可．

（1）∵a_n=2n，∴a_n+1=2+a_n，n∈N^*；

∴数列{a_n}是“M类数列”，对应的实常数分别为1，2．

∵b_n=3•2ⁿ，∴b_n+1=2b_n，n∈N^*，

∴数列{b_n}是“M类数列”，对应的实常数分别为2，0．

（2）①∵a_n+a_n+1=3•2ⁿ（n∈N^*），

∴a₂+a₃=3•2²，a₄+a₅=3•2⁴，…，a₂₀₁₄+a₂₀₁₅=3•2²⁰¹⁴；

故数列{a_n}前2015项的和：

S₂₀₁₅=a₁+（a₂+a_3^）+（a₄+a₅）+…+（a₂₀₁₄+a₂₀₁₅）

=2+3•2²+3•2⁴+…+3•2²⁰¹⁴=2+3×

22(1−41007)

1−4

=2+2²⁰¹⁶-4=2²⁰¹⁶-2．

（2）∵数列{a_n}是“M类数列”，∴存在实常数p、q，

使得a_n+1=pa_n+q对于任意n∈N^*都成立，

则a_n+2=pa_n+1+q对于任意n∈N^*都成立，

∴（a_n+1+a_n+2）=p（a_n+a_n+1）+2q对于任意n∈N^*都成立，

又∵a_n+a_n+1=3•2ⁿ（n∈N^*），且a_n+1+a_n+2=3•2ⁿ⁺¹（n∈N^*），

则有3•2ⁿ⁺¹=3•p2ⁿ+2q对于任意n∈N^*都成立，

即3•2ⁿ（2-p）=2q对于任意n∈N^*都成立，

因此2-p=0，2q=0；

此时，a_n+1=pa_n+q=2a_n，又∵a₁=2，

∴a_n=2ⁿ，n∈N^*．

点评：

本题考点： 数列的应用；数列的求和．

考点点评： 本题考查了学生对于新定义的接受能力与应用能力，实质考查了学生的学习能力，同时考查了等差数列与等比数列的通项公式，同时考查了等比数列的前n项和公式，属于难题．