Question

在△ABC中,a,b,c是角A,B,C的对边,且COS2B+COSB+COS(A-C)=1.求证a,b,c成等比数列.

Answer 1

首先,在△ABC中,A+B+C=180度

那么cosB=-cos(A+C),即原式为

cos2B-cos(A+C)+cos（A-C）=1;

由二倍角公式及和差化积公式,得

cos2B=1-2(sinB)^2;

cos(A-C)-cos(A+C)=2sinAsinC;

即原式变为

1-2(sinB)^2+2sinAsinC=1;

即sinAsinC=(sinB)^2;

再由正弦定理sinA/a=sinB/b=sinC/c得

ac=b^2;

因此a.b.c成等比数列

Do you understand?

看来我得给你说明下：

cosa-cosb=-2sin1/2(a+b)*sin1/2(a-b)

cos(A-C)-cos(A+C)=-2sin（2A/2）sin（-2C/2）=2sinAsinC