Question

已知棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1，E、F分别是BC，A1D1的中点．

Answer 1

解题思路：（1）要证四边形B₁EDF为菱形，只要先证其是平行四边形，再说明邻边相等即可，根据正方体的性质易证；

（2）证明直线AD与平面B₁EDF所成的角为∠ADB₁，在直角△B₁AD中，利用余弦定理，即可求得直线AD与平面B₁EDF所成的角；

证明：（1）取AD中点H，连接BH，FH，

易证：FHBB₁为矩形，

因此，FB₁∥BH，且FB₁=BH，．

又∵正方形ABCD中BH∥DE且BH=DE，

∴FB₁∥DE，FB₁=DE，

∴FB₁ED为平行四边形．

又∵FD=DE=

5

2a，

∴四边形B₁EDF为菱形．

（2）∵平面ADE⊥平面ADF

∴AD在平面B₁EDF内的射影在∠EDF的平分线上，而四边形B₁EDF是菱形

∴DB₁为∠EDF的平分线

∴直线AD与平面B₁EDF所成的角为∠ADB₁．

在直角△B₁AD中，AD=a，AB₁=

2a，B₁D=

3a，

∴cos∠ADB₁=

a2+3a2−2a2

2×a×

3a=

3

3

∴直线AD与平面B₁EDF所成的角为arccos

3

3；

点评：

本题考点： 直线与平面所成的角．

考点点评： 此题是个中档题．考查的知识点是直线与平面所成的角，其中求出直线AD与平面B1EDF所成的角为∠ADB1是解答的关键．